Question

给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．对于二次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），有如下真命题：任何一个二次函数都有位移的“拐点”，且该“拐点”就是f（x）的对称中心，给定函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，请你根据上面结论，计算f（

1

2016

）+f（

2

2016

）+…+f（

2015

2016

）=

 

．

Answer 1

考点：导数的运算,函数的值

专题：导数的概念及应用

分析：由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（

1

2

，1）对称，即f（x）+f（1-x）=2，即可得到结论．

解答： 解：函数的导数f′（x）=x²-x+3，
f″（x）=2x-1，
由f″（x₀）=0得2x₀-1=0
解得x₀=

1

2

，而f（

1

2

）=1，
故函数f（x）关于点（

1

2

，1）对称，
∴f（x）+f（1-x）=2，
故f（

1

2016

）+f（

2

2016

）+…+f（

2015

2016

）=2×1007+f（

1

2

）=2014+1=2015．
故答案为：2015．

点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．