Question

19．已知曲线C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，直线l：$ρ=\frac{6}{2cosθ+sinθ}$（θ为参数）．
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，直接转化为参数方程，利用极坐标与直角坐标的转化方法可得直线l的普通方程．
（2）在曲线C上任意取一点P （2cosθ，3sinθ）到l的距离为$d=\frac{{\sqrt{5}}}{5}|{4cosθ+3sinθ-6}|$，利用正弦函数的单调性即可得出最值．

解答 解：（Ⅰ） 曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），
直线l的普通方程为：2x+y-6=0                 （5分）
（Ⅱ）在曲线C上任意取一点P （2cosθ，3sinθ）到l的距离为$d=\frac{{\sqrt{5}}}{5}|{4cosθ+3sinθ-6}|$，
则$|PA|=\frac{d}{{sin{{45}^0}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}|{5sin（{θ+α}）-6}|$，其中α为锐角．且$tanα=\frac{4}{3}$．
当sin（θ+α）=-1时，|PA|取得最大值，最大值为$\frac{{11\sqrt{10}}}{5}$；
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．（10分）

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．