Question

已知动圆P在x轴上截得的弦长为4，且过定点Q（0，2），动圆心P形成曲线L，
（1）求证：曲线L是开口向上的抛物线．
（2）若抛物线线y=ax²上任一点M（x₀，y₀）处的切线斜率为2ax₀，过直线：l：y=x-2上的动点A作曲线L的切线，切点为B，C，求ABC面积的最小值及对应点A的坐标．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出动圆圆心C的坐标，由圆的半径、弦心距及半弦长的关系列式整理求得动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）设直线BC的方程为y=kx+b，代入抛物线方程，消去y得x²-4kx-4b=0，由此利用根的判别式、韦达定理、切线方程、点到直线的距离公式能求出△ABC面积的最小值及此时点A的坐标．

解答： （1）证明：设C（x，y），
由动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4得，|CA|²-y²=4，
即x²+（y-2）²-y²=4，整理得：x²=4y．
∴动圆圆心的轨迹C的方程为x²=4y，
∴曲线L是开口向上的抛物线；（4分）
（2）解：设直线BC的方程为y=kx+b，
代入抛物线方程，消去y得x²-4kx-4b=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
且△=16k²+16b．…（6分）
以点B为切点的切线的斜率为k_P=

1

2

x₁，
其切线方程为y-y₁=

1

2

x₁（x-x₁），即y=

1

2

x₁x-

1

4

x12，
同理过点C的切线的方程为y=

1

2

x₂x-

1

4

x22，
设两条切线的交点为A（x_A，y_A）在直线x-y-2=0上，
解得x_A=2k，y_A=-b，即A（2k，-b），
则：2k+b-2=0，即b=2-2k，…（8分）
代入△=16k²+16b=16k²+32-32k=16（k-1）²+16＞0，
∴|PQ|=4

1+k2

•

k2+b

，
A（2k，-b）到直线PQ的距离为d=

|2k2+2b|

k2+1

，…（10分）
∴S_△ABC=

1

2

|BC|d=4|k²+b|

k2+b

=4(k2+b)

3

2

=4[(k-1)2+1]

3

2

，
∴当k=1时，S_△ABC最小，其最小值为4，此时点A的坐标为（2，0）．…（12分）

点评：本题考查了轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查三角形面积的最小值的求法，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系解题，是高考试卷中的压轴题．