Question

15．椭圆x²+$\frac{y^2}{b^2}$=1（|b|＜1）的左焦点为F，A为上顶点，B为长轴上任意一点，且B在原点O的右侧，若△FAB的外接圆圆心为P（m，n），且m+n＞0，椭圆离心率的范围为（　　）

• A． $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$
• B． $（{0，\frac{1}{2}}）$
• C． $（{\frac{1}{2}，1}）$
• D． $（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$

Answer 1

分析 分别求出线段FB与AB的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P，利用m+n＞0，与离心率计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，B是右顶点
线段FB的垂直平分线为：x=$\frac{1-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2}$．
线段AB的中点（$\frac{1}{2}$，$\frac{b}{2}$）．
∵k_AB=-b．
∴线段AB的垂直平分线的斜率k=$\frac{1}{b}$．
∴线段AB的垂直平分线方程为：y-$\frac{b}{2}$=$\frac{1}{b}$（x-$\frac{1}{2}$），
把x=$\frac{1-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2}$=p代入上述方程可得：y=$\frac{{b}^{2}-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2b}$=n．
∵m+n＞0，
∴$\frac{1-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2}$+$\frac{1-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2}$＞0．
化为：b＞$\sqrt{1-{b}^{2}}$，又0＜b＜1，
解得$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜b＜1．
∴e=$\frac{c}{a}$=c=$\sqrt{1-{b}^{2}}$∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
B为长轴上任意一点，且B在原点O的右侧，结论同样成立，
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．