Question

6．已知f（x）=ax-$\frac{a}{x}$-10lnx，h（x）=-x²+（m-2）x+6．
（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=4时，对于任意x₁，x₂∈（0，1），均有h（x₁）≥f（x₂）恒成立，试求参数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为a≥$\frac{10x}{{x}^{2}+1}$，而$\frac{10x}{{x}^{2}+1}$≤5，从而求出a的范围即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，根据h（x₁）≥f（x₂）恒成立，满足h（x）_min≥f（x）_max，得到故m的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{ax}^{2}-10x+a}{{x}^{2}}$，
对于任意（0，+∞）上，满足f′（x）≥0，即ax²-10x+a≥0，a≥$\frac{10x}{{x}^{2}+1}$，
而$\frac{10x}{{x}^{2}+1}$≤5，当且仅当x=1时，取最大值5，所以a≥5．
（Ⅱ）f（x）=4x-$\frac{4}{x}$-10lnx，
f′（x）=$\frac{2（2x-1）（x-2）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，可得x₁=$\frac{1}{2}$或x₂=2，
所以函数f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）单调递增，在（$\frac{1}{2}$，1）单调递减，
所以f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=-6+10ln2，
h（x₁）≥f（x₂）恒成立，满足h（x）_min≥f（x）_max，
即$\left\{\begin{array}{l}{h（0）{≥f（x）}_{max}}\\{h（1）{≥f（x）}_{max}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{6≥-6+10ln2}\\{-1+m-2+6≥-6+10ln2}\end{array}\right.$⇒m≥-9+10ln2，
所以m的取值范围是[-9+10ln2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．