Question

4．已知数列{a_n}的各项均为正数，观察程序框图，若k=1，k=5时，分别有S=$\frac{1}{3}$和S=$\frac{5}{11}$．
（1）试求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=3ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据程序框图得出{a_n}为等差数列，利用k=1和k=5得出方程组解出a₁和d，即可得出a_n；
（2）使用错位相减法求出T_n．

解答 解：（1）由程序框图可知：{a_n}为等差数列，
$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{4}{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{6}}$=$\frac{5}{11}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{d}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{1}+d}）=\frac{1}{3}}\\{\frac{1}{d}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{1}+5d}）=\frac{5}{11}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-1}\\{d=-2}\end{array}\right.$（舍去），
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=（2n-1）•3ⁿ，
∴T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ，
∴3T_n=1×3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-1）×3ⁿ⁺¹，
∴$2{T_n}=-3-2（{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）+{3^{n+1}}（2n-1）=6+{3^{n+1}}（2n-2）$，
∴T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了程序框图，等差数列的通项公式，错位相减法数列求和．