Question

16．如图1所示，在矩形ABCD中，AB=4$\sqrt{5}$，AD=2$\sqrt{5}$，BD是对角线，过A点作AE⊥BD，垂足为O，交CD于E，以AE为折痕将△ADE向上折起，使点D到达点P的位置（图2），且PB=2$\sqrt{17}$．
（1）求证：PO⊥平面ABCE；
（2）过点C作一平面与平面PAE平行，作出这个平面，写出作图过程；
（3）在（2）的结论下，求出四棱锥P-ABCE介于这两平行平面间部分的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出PO⊥OB，PO⊥AE，由此能证明PO⊥平面ABCE．
（2）过点C作AE的平行线交AB于点F，过点F作PA的平行线交PB于点G，连结CG，能得到所求的平面．
（3）所求几何体的体积为V=V_P-ABCD-V_G-BCF，由此能求出结果．

解答 证明：（1）在图1中，AB=4$\sqrt{5}$，AD=2$\sqrt{5}$，则BD=10，
又AD²=DO•BD，∴DO=2，OB=8，
在图2中，PO=DO=2，PO²+OB²=2²+8²=68=PB²，
∴PO⊥OB，
又∵PO⊥AE，AE∩OB=O，
∴PO⊥平面ABCE．
解：（2）过点C作AE的平行线交AB于点F，过点F作PA的平行线交PB于点G，
连结CG，
则平面CFG为过点C与平面PAE平行的平面．
（3）在图1中，∵△DOE∽△DCB，∴DE=5，
∴S_△ADE=5，S_梯形ABCE=S_ABCD-S_△ADE=35，S_△BCF=S_△ADE=5，
设CF∩OB于H，连结GH，
则$\frac{GH}{PO}=\frac{BH}{OB}$，解得GH=$\frac{1}{2}$，
∴所求几何体的体积为：
V=V_P-ABCD-V_G-BCF=$\frac{1}{3}•{S}_{梯形ABCE}•PO-\frac{1}{3}•{S}_{△BCF}•GH$
=$\frac{1}{3}×35×2-\frac{1}{3}×5×\frac{1}{2}$=$\frac{45}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的平面的作法，考查向何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．