Question

13．已知函数f（x）=asin2x+（a+1）cos2x，a∈R，则函数f（x）的最小正周期为π，振幅的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用辅助角公式化简，根据周期公式可得最小正周期，根据性质可得振幅的最小值．

解答 解：函数f（x）=asin2x+（a+1）cos2x，a∈R，
化简可得：f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+（a+1）^{2}}$sin（2x+θ）=$\sqrt{2（a+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$sin（2x+θ），其tanθ=$\frac{1+a}{a}$．
函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
振幅为$\sqrt{2（a+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$，
当a=$-\frac{1}{2}$时，可得振幅的最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：π，$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，比较基础．