Question

已知函数f（x）=lnx-

x-a

x

，其中a为常数，且a＞0．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为

1

3

，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，由直线垂直的条件得f'（1）=-1，即可得到a，再令导数小于0，解出即可，注意定义域；
（2）对a讨论，①当0＜a≤1时，②当1＜a＜3时，③当a≥3时，运用导数判断单调性，求出最小值，解方程，即可得到a的值．

解答： 解：f′(x)=

1

x

-

x-(x-a)

x2

=

x-a

x2

（x＞0），
（1）因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，
所以f'（1）=-1，即1-a=-1解得a=2；
当a=2时，f(x)=lnx-

x-2

x

，f′(x)=

x-2

x2

．
令f′(x)=

x-2

x2

＜0，解得0＜x＜2，
所以函数的递减区间为（0，2）；
（2）①当0＜a≤1时，f'（x）＞0在（1，3）上恒成立，
这时f（x）在[1，3]上为增函数
则f（x）_min=f（1）=a-1
令 a-1=

1

3

，得a=

4

3

＞1（舍去），
②当1＜a＜3时，由f'（x）=0得，x=a∈（1，3）
由于对于x∈（1，a）有f'（x）＜0，f（x）在[1，a]上为减函数，
对于x∈（a，3）有f'（x）＞0，f（x）在[a，3]上为增函数，
则f（x）_min=f（a）=lna，
令lna=

1

3

，得a=e

1

3

，
③当a≥3时，f'（x）＜0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为减函数，
故f′(x)min=f(3)=ln3+

a

3

-1．
令ln3+

a

3

-1=

1

3

得 a=4-3ln3＜2（舍去）
综上，a=e

1

3

．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、求极值和最值，考查两直线垂直的条件，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．