题目内容
2．
已知椭圆Γ的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线y=$\frac{1}{4}$x2的焦点．（1）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）Q为椭圆Γ的左顶点，直线l经过点（-$\frac{6}{5}$，0）与椭圆Γ交于A，B两点．
（1）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；
（2）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．
分析 （I）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，根据条件列方程组解出a，b即可；
（II）（1）把x=-$\frac{6}{5}$代入椭圆方程解出A，B坐标，根据三角形的边长即可求出∠AQB；
（2）设AB斜率为k，联立方程组求出A，B坐标的关系，通过计算$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=0得出$\overrightarrow{QA}⊥\overrightarrow{QB}$，则当△QAB为等腰直角三角形时，取AB中点N，则QN⊥AB，计算QN的斜率判断是否为-$\frac{1}{k}$即可得出结论．
解答 解：（I）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0）．
抛物线y=$\frac{1}{4}$x2的焦点为（0，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a2=4，
∴椭圆Γ的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1．
（II）Q（-2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
（1）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=-$\frac{6}{5}$．则直线l与x轴交于M（-$\frac{6}{5}$，0）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{6}{5}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{6}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{6}{5}}\\{y=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$．
不妨设A在第二象限，则A（-$\frac{6}{5}$，$\frac{4}{5}$），B（-$\frac{6}{5}$，-$\frac{4}{5}$）．
∴|QM|=|AM|=$\frac{4}{5}$．
∴∠AQM=45°，∴∠AQB=2∠AQM=90°．
（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为y=k（x+$\frac{6}{5}$）（k≠0）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+\frac{6}{5}）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消元得（25+100k2）x2+240k2x+144k2-100=0．
∴x1+x2=$\frac{-240{k}^{2}}{25+100{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{144{k}^{2}-100}{25+100{k}^{2}}$．
y1y2=k2（x1+$\frac{6}{5}$）（x2+$\frac{6}{5}$）=$\frac{144{k}^{4}-100{k}^{2}}{25+100{k}^{2}}$-$\frac{6}{5}{k}^{2}$•$\frac{240{k}^{2}}{25+100{k}^{2}}$+$\frac{36{k}^{2}}{25}$．
∵$\overrightarrow{QA}$=（x1+2，y1），$\overrightarrow{QB}$=（x2+2，y2），
∴$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=$\frac{144{k}^{2}-100}{25+100{k}^{2}}$-$\frac{480{k}^{2}}{25+100{k}^{2}}$+4+$\frac{144{k}^{4}-100{k}^{2}}{25+100{k}^{2}}$-$\frac{6}{5}{k}^{2}$•$\frac{240{k}^{2}}{25+100{k}^{2}}$+$\frac{36{k}^{2}}{25}$=0．
∴QA⊥QB，即△QAB是直角三角形．
假设存在直线l使得△QAB是等腰直角三角形，则|QA|=|QB|．
取AB的中点N，连结QN，则QN⊥AB．
又xN=$\frac{1}{2}$（x1+x2）=-$\frac{120{k}^{2}}{25+100{k}^{2}}$=-$\frac{24{k}^{2}}{2+20{k}^{2}}$，yN=k（xN+$\frac{6}{5}$）=$\frac{6k}{5+20{k}^{2}}$．
∴kQN=$\frac{6k}{16{k}^{2}+10}$，∴kQN•kAB=$\frac{6{k}^{2}}{16{k}^{2}+10}$≠-1．
∴QN与AB不垂直，矛盾．
∴直线l与x轴不垂直，不存在直线l使得△QAB为等腰三角形．
点评 本题考查了椭圆，抛物线的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
举一反三同步巧讲精练系列答案| A． | x2=py（x≠0） | B． | y2=px（y≠0） | C． | x2=4py（x≠0） | D． | y2=4px（y≠0） |
如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面的面积为（ ）| A． | 4 | B． | 4$\sqrt{6}$ | C． | 8 | D． | 8$\sqrt{2}$ |
| A． | $\sqrt{5}$ | B． | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | C． | 2 | D． | 4 |