Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{2a}$x²-lnx，其中a＞0．
（1）当a=4时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）＞1恒成立，其实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，当a=1时写出函数式，对函数求导，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）利用（1）的单调性，求出函数f（x）的极值，进一步求出函数的最值，得到参数a的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{1}{2a}$x²-lnx（x＞0），其中a为非零常数，
当a=4时，f（x）=$\frac{1}{8}$x²-lnx，
f′（x）=$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-4}{4x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；
（2）当x属于[1，2]，lnx＞0，
当a＞0时，命题可转化为对于任意x属于[1，2]，都有a＜$\frac{{x}^{2}}{2（1+lnx）}$，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2（1+lnx）}$，对函数求导得g′（x）=$\frac{2x+4xlnx}{{4（1+lnx）}^{2}}$=0
∴x=$\frac{1}{\sqrt{e}}$时，导数等于零，
在[1，2]内，g′（x）＞0，g（x）_min=g（1）=$\frac{1}{2}$，
经验证这是函数g（x）在这个闭区间[1，2]上最小值，
∴g（x）的最小值是g（1）=$\frac{1}{2}$，
∴x∈[1，2]时，g（x）＞0，即当0＜a≤$\frac{1}{2}$时，不等式f（x）＞1恒成立，
当a＜0时，$\frac{1}{2a}$＞$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$在x属于[1，2]时，不合题意．
综上可知a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 利用导数求函数的在区间上的最值，应该先求出导函数，判断出导函数的符号得到函数的单调性，求出函数的极值，同时求出函数的区间端点值，选出最值．