Question

10．已知定义在R上的函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y）+1，且当x＞0时，f（x）＞1．
（ I）若令h（x）=f（x）-1，证明：函数h（x）为奇函数；
（ II）证明：函数f（x）在R上是增函数；
（ III）解关于x的不等式f（x²）-f（3tx）+f（2t²+2t-x）＜1．其中t∈R．

Answer 1

分析 （1）要判断函数的奇偶性方法是f（x）+f（-x）=0．现在要判断f（x）-1的奇偶性即就是判断[f（x）-1]+[f（-x）-1]是否等于0．首先令x₁=x₂=0得到f（0）=1；然后令x₁=x，x₂=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）-1证出即可；
（2）要判断函数的增减性，就是在自变量范围中任意取两个x₁＜x₂∈R，判断出f（x₁）与f（x₂）的大小即可知道增减性．
（3）已知f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，f（x²+2t²+2t-x）＜f（3tx）
又因为函数f（x）在R上是增函数，所以x²+2t²+2t-x＜3tx，求出解集即可．

解答 解：（ I）证明：令x=y=0，则f（0）=1
令y=-x，即f（x）+f（-x）=f（0）+1，即f（x）+f（-x）=2
所以：f（-x）-1=-f（x）+1，即h（-x）=-h（x）
故函数h（x）为奇函数；…（3分）
（ II）证明：设任意x₁，x₂∈R且x₁＞x₂
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）-2=f（x₁-x₂）+1-2=f（x₁-x₂）-1
因为：x₁＞x₂所以x₁-x₂＞0，故f（x₁-x₂）＞1
所以f（x₁）＞f（x₂），故函数f（x）在R上是增函数；…（7分）
（ III）因为f（x²）-f（3tx）+f（2t²+2t-x）＜1
所以f（x²）+f（2t²+2t-x）＜f（3tx）+1
即f（x²+2t²+2t-x）+1＜f（3tx）+1
即f（x²+2t²+2t-x）＜f（3tx）
又因为函数f（x）在R上是增函数
所以x²+2t²+2t-x＜3tx
即：x²-（3t+1）t+2t²+2t＜0
即：（x-2t）（x-t-1）＜0
ⅰ）当t=1时，原不等式无解；
ⅱ）当t＞1时，原不等式的解集{x|t+1＜x＜2t}
ⅲ）当t＜1时，原不等式的解集{x|2t＜x＜t+1}…（12分）

点评 本题考查了学生掌握判断抽象函数奇偶性能力和判断抽象函数增减性的能力，灵活运用题中已知条件的能力，属于中档题．