题目内容
已知O（0，0），A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（0，π）
（1）若|
+
|=
，求α的值；
（2）
•
=-1，求sinα-cosα的值．
（1）若|
| OA |
| OC |
| 13 |
（2）
| AC |
| BC |
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
专题：三角函数的求值,平面向量及应用
分析：（1）求出
，
；计算
+
，由|
+
|=
；求出α的值；
（2）求出
，
，由
•
C，求出cosα+sinα的值，利用同角的三角函数关系，求出sinα-cosα的值．
| OA |
| OC |
| OA |
| OC |
| OA |
| OB |
| 13 |
（2）求出
| AC |
| BC |
| AC |
| B |
解答：
解：（1）∵
=（3，0），
=（cosα，sinα）；
∴
+
=（3+cosα，sinα），
∴|
+
|=
=
=
；
∴cosα=
，
又∵α∈（0，π），∴α=
；
（2）∵
=（cosα-3，sinα），
=（cosα，sinα-3），
∴
•
C=（cosα-3）•cosα+sinα•（sinα-3）=1-3（cosα+sinα）=-1；
∴cosα+sinα=
，
∴1+2sinαcosα=
，
∴2sinαcosα=-
；
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα-cosα=
=
=
．
| OA |
| OC |
∴
| OA |
| OC |
∴|
| OA |
| OB |
| (3+cosα)2+sin2α |
| 10+6cosα |
| 13 |
∴cosα=
| 1 |
| 2 |
又∵α∈（0，π），∴α=
| π |
| 3 |
（2）∵
| AC |
| BC |
∴
| AC |
| B |
∴cosα+sinα=
| 2 |
| 3 |
∴1+2sinαcosα=
| 4 |
| 9 |
∴2sinαcosα=-
| 5 |
| 9 |
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα-cosα=
| (sinα+cosα)2-4sinαcosα |
=
(
|
=
| ||
| 3 |
点评：本题考查了平面向量的应用问题和三角函数的求值问题，解题时应利用平面向量的坐标运算进行解答，是基础题．
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