题目内容

已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，且满足2Sn=an2+an．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{
1
an2
}的前n项和为Tn，求证：当n≥3时，Tn＞
3
2
+
1-2n
2n2
．
考点：数列的求和,数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）由已知条件推导出2an=an2-an-12+an-an-1，化简得（an-an-1-1）（an+an-1）=0，由此能求出an=n．
（Ⅱ）当n≥3时，利用放缩法和裂项求和法能证明Tn＞
3
2
+
1-2n
2n2
．
解答： 解：（Ⅰ）∵2Sn=an2+an…①，∴2a1=a12+a1，
解得a1=1或0（舍），
且2Sn-1=an-12+an-1…②，
①-②得2an=an2-an-12+an-an-1，
化简得（an-an-1-1）（an+an-1）=0，
∵数列{an}各项均为正数，∴an-an-1-1=0，即an=an-1+1，
∴{an}为等差数列，an=n，
经检验，a1=1也符合该式，
∴an=n．…（5分）
（Ⅱ）当n≥3时，
Tn=
1
12
+
1
22
+
1
32
+…
1
n2
=1+
1
2
(
2
22
+
2
32
+…
2
n2
)
=
1
2
(1+1+
1
22
+
1
22
+
1
32
+
1
32
+…+
1
n2
+
1
n2
)
＞
1
2
(1+2
1×
1
22
+2
1
22
×
1
32
+…+2
1
(n-1)2
×
1
n2
+
1
n2
)
=
1
2
(1+
2
1×2
+
2
2×3
+…+
2
(n-1)×n
+
1
n2
)
=
1
2
(1+
2
1
-
2
2
+
2
2
-
2
3
+…+
2
(n-1)
-
2
n
+
1
n2
)
=
1
2
(3-
2
n
+
1
n2
)=
3
2
+
1-2n
2n2

∴当n≥3时，Tn＞
3
2
+
1-2n
2n2
．…（12分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法和裂项求和法的合理运用．
练习册系列答案
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直线l1∥l2，l1上有4个点，l2上有6个点，以这些点为端点连成线段，他们在l1与l2之间最多的交点个数是（　　）
A、24B、45C、80D、90
已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=
1
2
，an+1=
n+1
2n
an．
（1）求证：数列{
n
an
}是等比数列；
（2）设bn=n（2-Sn），n∈N*，若集合M={n|bn≥λ，n∈N*}恰有5个元素，求实数λ的取值范围．
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：
是否需要志愿者男女
需要5025
不需要200225
（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；
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圆具有性质：设M、N是圆C：x2+y2=r2关于原点对称的两个点，P是圆C上任意一点，直线PM，PN的斜率kPM，kPN存在，则kPM•kPN=-1，类比上述性质，在椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1中，写出相类似的性质，并给出证明．
设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52，S7=7．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
已知O（0，0），A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（0，π）
（1）若|
OA
+
OC
|=
13
，求α的值；
（2）
AC
•
BC
=-1，求sinα-cosα的值．
已知函数f(x)=ax-
b
x+1
(a，b∈N*)，f(1)=
1
2
且f（2）＜2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）判断并证明函数y=f（x）在区间（-1，+∞）上的单调性．
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB1⊥BC，AB∥CD，BC⊥AB且AA1=AB=AD=2，∠A1AB=∠DAB=60°．
（1）求证：AB1⊥平面A1BC；
（2）求该四棱柱的体积．

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