Question

5．设a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程（a²+bc）x²+2$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$x+1=0有两个相等的实数根，则A的度数是（　　）

• A． 120°
• B． 90°
• C． 60°
• D． 30°

Answer 1

分析 利用根的判别式△=b²-4ac=0求得b²+c²-a²=bc，利用余弦定理即可求得cosA的值，结合A的范围即可得解A的值．

解答 解：∵（a²+bc）x²+2$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$x+1=0有两个相等的实数根，
∴△=4（b²+c²）-4（a²+bc）=0，整理可得：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，180°），
∴A=60°．
故选：C．

点评 本题考查了根的判别式、勾股定理的逆定理，余弦定理在解三角形中的应用，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根，属于基础题．