Question

17．在△ABC中，BO为边AC上的中线，$\overrightarrow{BG}$=2$\overrightarrow{GA}$，设$\overrightarrow{CD}$∥$\overrightarrow{AG}$，若$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$，则λ的值为$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 根据题意得出G是△ABC的重心，用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出向量$\overrightarrow{AG}$，用$\overrightarrow{AG}$表示出$\overrightarrow{CD}$，写出$\overrightarrow{AD}$的表达式，利用向量相等列出方程组求出λ的值．

解答 解：由已知得G是△ABC的重心，因此$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
由于$\overrightarrow{CD}$∥$\overrightarrow{AG}$，因此设$\overrightarrow{CD}$=k$\overrightarrow{AG}$，
所以$\overrightarrow{CD}$=$\frac{k}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
那么$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CD}$=$\frac{k}{3}$$\overrightarrow{AB}$+（$\frac{k}{3}$+1）$\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{3}=\frac{1}{5}}\\{\frac{k}{3}+1=λ}\end{array}\right.$，
解得λ=$\frac{6}{5}$．
故答案为：$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了向量在几何中的应用问题，也考查平面向量的基本定理，是基础题目．