Question

10．如图，已知椭圆Г：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左右焦点分别为F₁，F₂，过点F₁，F₂分别作两条平行直线AB，CD交椭圆Г于点A、B、C、D．
（Ⅰ）求证：|AB|=|CD|；
（Ⅱ）求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）设AB方程为x=my-1，则CD方程为x=my+1，分别与椭圆方程联立得出A，B，C，D坐标的关系，利用弦长公式即可得出|AB|=|CD|；
（II）求出S_△AOB的面积的最大值，即可得出四边形ABCD面积的最大值．

解答 解：（I）F₁（-1，0），F₂（1，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my-1．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=my-1}\end{array}\right.$，消元得（3m²+4）y²-6my-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$．
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），直线CD的方程为x=my+1．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，消元得（3m²+4）y²+6my-9=0．
∴y₃+y₄=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₃y₄=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$．
∴y₁+y₂=-（y₃+y₄），y₁y₂=y₃y₄，
∴|y₁-y₂|=|y₃-y₄|，
∵|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|，|CD|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₃-y₄|，
∴|AB|=|CD|．
（II）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S_?ABCD=4S_△AOB，
又S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OF₁||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}+\frac{36}{3{m}^{2}+4}}$=6$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{（3{m}^{2}+4）^{2}}}$=6$\sqrt{\frac{1}{9（{m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+6}}$．
设m²+1=t，f（t）=9t+$\frac{1}{t}$，则t≥1，f′（t）=9-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，
∴f（t）在[1，+∞）上为增函数，∴f（t）≥f（1）=10．
∴S_△AOB≤6$\sqrt{\frac{1}{16}}$=$\frac{3}{2}$，
∴四边形ABCD面积的最大值为4×$\frac{3}{2}$=6．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，函数最值的计算，属于中档题．