Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意n∈N^*，都有S_n+a_n=2n成立．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n+1-a_n，x_n=

1

1+bn

+

1

1-bn+1

，若记数列{a_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＞2n-

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用公式法即可求得通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得出X_n，放缩得x_n=

1

1+bn

+

1

1-bn+1

=2+

1

2n-1

-

1

2n+1+1

＞2+

1

2n

-

1

2n+1

=2+

1

2n+1

，即得T_n＞（2+

1

22

）+（2+

1

23

）+…+（2+

1

2n+1

）=2n+

1 4 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=2n+

1

2

-

1

2n+1

＞2n-

1

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n+a_n=2n①
∴n≥2时，S_n-1+a_n-1=2（n-1）②
①-②可得2a_n=a_n-1+2
∴2（a_n-2）=a_n-1-2
又当n=1时，s₁+a₁=2，∴a₁=1，∴{a_n-2}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴a_n-2=（ (

1

2

)n-1，∴a_n=2+(

1

2

)n-1；
（Ⅱ）b_n=a_n+1-a_n=-

1

2n

，
∴x_n=

1

1+bn

+

1

1-bn+1

=

1

1- 1 2n

+

1

1+ 1 2n+1

=

2n

2n-1

+

2n+1

2n+1+1

=2+

1

2n-1

-

1

2n+1+1

＞2+

1

2n

-

1

2n+1

=2+

1

2n+1

，
∴T_n＞（2+

1

22

）+（2+

1

23

）+…+（2+

1

2n+1

）=2n+

1 4 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=2n+

1

2

-

1

2n+1

＞2n-

1

2

．

点评：本题主要考查利用公式a_n=s_n-s_n-1（n≥2）求数列通项公式的方法及等比数列求和公式知识，考查不等式的证明及放缩，考查学生的运算求解能力，推理论证能力，属难题．