题目内容
某学校对教师的年龄及学历状况进行调查，其结果（人数分布）如下表：
（Ⅰ）在35-50岁年龄段的教师中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
（Ⅱ）若对全体教师按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中50岁以上的有10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄在50岁以上的概率为
，求N的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若抽取的N个人中35岁以下的有48人，求x和y的值．
| 学历 | 35岁以下 | 35-50岁 | 50岁以上 |
| 本科 | 80 | 30 | 20 |
| 研究生 | x | 20 | y |
（Ⅱ）若对全体教师按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中50岁以上的有10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄在50岁以上的概率为
| 5 |
| 39 |
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若抽取的N个人中35岁以下的有48人，求x和y的值．
考点：古典概型及其概率计算公式,分层抽样方法
专题：概率与统计
分析：（I）用分层抽样得到学历为本科的人数，后面的问题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5个人中容易抽取2个，事件数可以列举出，满足条件的事件是至少有1人的学历为研究生，从列举出的事件中看出结果．
（II）根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，表示出年龄为50岁以上的概率，利用解方程思想解出x，y的值．
（II）根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，表示出年龄为50岁以上的概率，利用解方程思想解出x，y的值．
解答：
解：（Ⅰ）由表中信息，在35～50岁年龄段的教师中本科和研究生学历分别有30人和20人，用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，则被抽取到的5人中，3人的学历为本科，2人的学历为研究生．
分别记作A1，A2，A3和B1、B2
从中任取2人的基本事件有：（A1，B1）、（A1，B2）、
（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，B2）、（A1，A2）、（A2，A3）、（A1，A3）、（A3，B1）、（B1，B2），共10个
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：（A1，B1）、（A1，B2）、
（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，B2）、（A3，B1）、（B1，B2）∴至少有1人的学历为研究生的概率为
（Ⅱ）解：依题意，得
=
解得N=78
∵按年龄分层抽取78人，其中35岁以下的有48人，50岁以上的有10人．
∴
=
=
，解得x=40，y=5
分别记作A1，A2，A3和B1、B2
从中任取2人的基本事件有：（A1，B1）、（A1，B2）、
（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，B2）、（A1，A2）、（A2，A3）、（A1，A3）、（A3，B1）、（B1，B2），共10个
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：（A1，B1）、（A1，B2）、
（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，B2）、（A3，B1）、（B1，B2）∴至少有1人的学历为研究生的概率为
| 7 |
| 10 |
（Ⅱ）解：依题意，得
| 10 |
| N |
| 5 |
| 39 |
解得N=78
∵按年龄分层抽取78人，其中35岁以下的有48人，50岁以上的有10人．
∴
| 48 |
| 80+x |
| 20 |
| 30+20 |
| 10 |
| 20+y |
点评：本题考查分层抽样方法，考查古典概型的概率及其概率公式，考查利用列举法列举出试验包含的所有事件，列举法是解决古典概型的首选方法．
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