Question

【题目】在平面直角坐标系中，为抛物线上不同的两点，且，点且于点.

（1）求的值；

（2）过轴上一点 的直线交于，两点，在的准线上的射影分别为，为的焦点，若，求中点的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由点且于点，可求得直线AB的方程，联立直线方程与抛物线方程由韦达定理可表示，进而表示，再由，得构建方程，解得p值；

（2）分别表示与，由已知构建方程，解得t的值，设的中点的坐标为，当与轴不垂直时，由构建等式，整理得中点轨迹方程；当与轴垂直时，与重合，综上可得答案.

（1）由及，得直线的斜率，

则的方程为，即，

设，，

联立消去得，，

由韦达定理，得，于是，

由，得，即，则，

解得.

（2）由（1）得抛物线的焦点，设的准线与轴的交点为，

则，，

由，得，且，得.

设的中点的坐标为，

则当与轴不垂直时，由，

可得，

；

当与轴垂直时，与重合，

所以的中点的轨迹方程为.