题目内容
【题目】如图所示，已知多面体
中，四边形
为菱形，
为正四面体，且
.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）通过证明平面
平面
来证明
平面；
（2）如图，以菱形
的两条对角线所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系
，利用向量法计算二面角
的余弦值.
（1）证明：因为四边形为菱形，
所以
，
又
平面，
平面，所以
平面，
同理可得
平面，
因为
平面
，
，
所以平面平面
因为
平面，所以平面.
（2）以菱形的两条对角线所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设
，则
，
因为
为正四面体，所以点E坐标为
，
，
因为平面平面，
所以平面与平面的法向量相同.
设平面的一个法向量为
，则
，即
可取
.
可取
为平面
的法向量.
所以
，
所以二面角的余弦值为.
练习册系列答案
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【题目】随着运动app和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传.“健步达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友（共500人）的走路步数，并整理成下表：
分组（单位：千步） |
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频数 | 60 | 240 | 100 | 60 | 20 | 18 | 0 | 2 |
（1）请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）；
（2）若用
表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件发生的概率；
（3）若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人共有300人，其中健步达人恰有150人，请填写下面
列联表.根据列联表判断，有多大把握认为，健步达人与年龄有关？
健步达人 | 非健步达人 | 合计 | |
40岁以上 | |||
不超过40岁 | |||
合计 |
附：
.
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
