Question

【题目】已知函数,令，其中是函数的导函数.

(Ⅰ)当时，求的极值；

(Ⅱ)当时，若存在,使得恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 极小值，无极大值；(Ⅱ).

【解析】

试题分析：（Ⅰ）把代入函数的解析式，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，得到函

数在各区间段内的单调性，从而求得函数极值；（Ⅱ）由函数的导函数可得函数的单调性，求得函数在 上的最值，再由恒成立，结合分离参数可得 ，构造函数，利用导数求其最值得的范围.

试题解析：(Ⅰ)依题意，则

当a=0时，

令解得；

当时，，当时，

所以的单调递减区间为(0,)，单调递增区间为(,+∞)

所以时取得极小值，无极大值.

(Ⅱ)

当即时，恒有成立，

所以在[1,3]上是单调递减.

所以

所以，

因为存在,使得恒成立，

所以整理得

又<0，所以

令=－，则∈(2,8)，构造函数,

所以，

当时，，当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，

所以m的取值范围为(,+∞).