Question

4．设函数f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{πx}{m}$，函数f（x）的对称轴为x=x₀，若存在x₀满足${x}_{0}^{2}$+[f（x₀）]²＜m²，则m的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-6）∪（6，+∞）
• B． （-∞，-4）∪（4，+∞）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由正弦函数的对称轴，可得x₀=km+$\frac{1}{2}$m，f（x₀）=±$\sqrt{3}$，代入不等式，化为m²（k+$\frac{3}{2}$）（$\frac{1}{2}$-k）＞3，求得k的范围，取整数k=-1，0，代入不等式，解不等式可得m的范围．

解答 解：由函数f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{πx}{m}$，函数f（x）的对称轴为x=x₀，
可得$\frac{π{x}_{0}}{m}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即有x₀=km+$\frac{1}{2}$m，f（x₀）=±$\sqrt{3}$，
则存在x₀满足${x}_{0}^{2}$+[f（x₀）]²＜m²，
即为（km+$\frac{1}{2}$m）²+3＜m²，
化为m²（k+$\frac{3}{2}$）（$\frac{1}{2}$-k）＞3，
由（k+$\frac{3}{2}$）（$\frac{1}{2}$-k）＞0，可得
-$\frac{3}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$，即有整数k=-1，0，
当k=-1，0时，$\frac{3}{4}$m²＞3，
解得m＞2或m＜-2．
故选：C．

点评 本题考查存在性问题的解法，考查正弦函数的对称性和最值，同时考查二次不等式的解法，属于中档题．