Question

16．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为16π，过点A，B，C，D作球O的截面，则该截面的面积为$\frac{8π}{3}$．

Answer 1

分析 求出球O的半径，正方体的棱长，可得截面的半径，即可求出截面的面积．

解答 解：由S=4πR²=16π，得R=2，即2R=4，
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体对角线等于其外接球O的直径，故正方体的棱长为$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
设截面的半径为r，则r=$\sqrt{4-（\frac{2}{\sqrt{3}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{8}{3}}$，
∴截面的面积为$π•\frac{8}{3}$=$\frac{8π}{3}$．
故答案为：$\frac{8π}{3}$．

点评 本题为正方体与外接球的问题，正方体的体对角线等于其外接球O的直径是解决问题的关键，属基础题．