Question

19．已知函数y=$\frac{{9x}^{2}+6x+1}{{x}^{2}+1}$，求该函数的最大值和最小值．

Answer 1

分析 将函数化为（y-9）x²-6x+y-1=0，讨论y=9，y≠9时，由于x∈R，可得△≥0，解关于y的二次不等式，可得最值，求出相应x的值．

解答 解：函数y=$\frac{{9x}^{2}+6x+1}{{x}^{2}+1}$，
可化为yx²+y=9x²+6x+1，
即有（y-9）x²-6x+y-1=0，
当y=9时，解得x=$\frac{4}{3}$；
当y≠9时，由于x∈R，可得
△≥0，即36-4（y-9）（y-1）≥0，
解得0≤y≤10．
则当x=-$\frac{1}{3}$时，函数取得最小值0；
当x=3时，函数取得最大值10．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意转化为二次方程有解，运用判别式法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．