Question

4．在棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{FC}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用向量的基本定理结合向量中点公式，分别表示出$\overrightarrow{AE}$和$\overrightarrow{FC}$，利用向量数量积的公式进行化简求解．

解答 解：∵E、F分别是BC、AD的中点，棱长为1的正四面体ABCD，
∴各个侧面都是正三角形，
则∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{FC}$=-$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}$=-$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•（\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}）$
=-（$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AC}$）
=-$\frac{1}{4}（1×1×cos60°+1×1×cos60°-2×cos60°-2）$
=-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题考查空间向量的数量积的计算，根据条件结合向量基本定理，求出$\overrightarrow{AE}$和$\overrightarrow{FC}$的表达式，结合向量数量积的定义和公式是解决本题的关键．