Question

过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知

(1)求椭圆的离心率；

(2)设动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q，若x轴上存在一定点M(1,0)，使得PM⊥QM，求椭圆的方程．

Answer 1

解：(1)∵A(－a,0)，设直线方程为y＝2(x＋a)，B(x₁，y₁)．

令x＝0，则y＝2a，∴C(0,2a)，

∴x₁＋a＝(－x₁)，y₁＝(2a－y₁)，

整理，得x₁＝－a，y₁＝a.

∵B点在椭圆上，

∴＝，

∴＝，即1－e²＝，

∴e＝.

(2)∵＝，可设b²＝3t，a²＝4t，

∴椭圆的方程为3x²＋4y²－12t＝0.

由得

(3＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－12t＝0.

∵动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P，

∴Δ＝0，即64k²m²－4(3＋4k²)(4m²－12t)＝0，整理得m²＝3t＋4k²t.

设P(x₁，y₁)，

又Q(4,4k＋m)，x轴上存在一定点M(1,0)，使得PM⊥QM，

∴·(－3，－(4k＋m))＝0恒成立．

整理，得3＋4k²＝m²，

∴3＋4k²＝3t＋4k²t恒成立．

故t＝1，所求椭圆方程为＋＝1.