Question

16．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且2a_n=S_n+2．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{n}{a_n}$，求数列的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a₁=2．利用S_n-S_n-1，推出关系式，判断数列是等比数列，求出通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出${b_n}=\frac{n}{2^n}$，利用错位相减法求解数列的和即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当n=1时，由2a₁=S₁+2=a₁+2，得a₁=2．（1分）
当n≥2时，由$\left\{\begin{array}{l}2{a_n}={S_n}+2\\ 2{a_{n-1}}={S_{n-1}}+2\end{array}\right.$（3分）
两式相减并化简得$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2$，（4分）
所以数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，故${a_n}={2^n}$．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${a_n}={2^n}$，所以${b_n}=\frac{n}{2^n}$，（7分）
所以${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n}{2^n}$①（8分）
①式两边乘以$\frac{1}{2}$，得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$②（9分）
①-②得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$（10分）
=$\frac{{\frac{1}{2}×[{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^n}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$（11分）
所以${T_n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}$．（12分）

点评 本题考查数列的通项公式以及数列求和的方法，考查计算能力．