Question

18．某盒子中装有标号分别为1、2、3、4、5的同质小球各2个，现从中一次性取出3个小球．
（I）求取出的3个小球上的最小标号为3的概率；
（Ⅱ）设X表示取出的3个小球上的最小标号，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出基本事件总数，再求出取出的3个小球上的最小标号为3包含的基本事件个数，由此能求出取出的3个小球上的最小标号为3的概率．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）盒子中装有标号分别为1、2、3、4、5的同质小球各2个，现从中一次性取出3个小球，
基本事件总数n=${C}_{10}^{3}$=120，
取出的3个小球上的最小标号为3包含的基本事件个数m=${C}_{2}^{1}{C}_{4}^{2}+{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{1}$=16，
∴取出的3个小球上的最小标号为3的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{16}{120}$=$\frac{2}{15}$，
（Ⅱ）由已知得X的可能取值为1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{8}^{2}+{C}_{2}^{2}{C}_{8}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{6}^{2}+{C}_{2}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=3）=$\frac{2}{15}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}+{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4
P	$\frac{8}{15}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{30}$

EX=$1×\frac{8}{15}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{2}{15}+4×\frac{1}{30}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．