Question

7．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]（m＜n），使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”，已知函数f（x）=x²-2ax+b（a，b∈R）．
（I）若b=0，a=1，g（x）=|f（x）|是“可等域函数”，求函数g（x）的“可等域区间”；
（Ⅱ）若区间[1，a+1]为f（x）的“可等域区间”，求a、b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意可知，函数y=x和y=f（x）交点的横坐标便是m，n的值，而b=0，a=1时，可以得到g（x）=|x²-2x|，从而解x=|x²-2x|便可得出函数g（x）的“可等域区间”；
（Ⅱ）据题意可知，方程x=x²-2ax+b的两实根为x=1，或a+1，这样将x=1，和x=a+1分别带入方程便可得出关于a，b的方程组，解方程组即可得出a，b的值．

解答 解：（Ⅰ）b=0，a=1时，g（x）=|x²-2x|，设y=g（x）；
解x=|x²-2x|得，x=0，1，或3；
∴函数g（x）的“可等域区间”为[0，1]，[0，3]，或[1，3]；
（Ⅱ）据题意知，方程x=x²-2ax+b的解为x=1或a+1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=1-2a+b}\\{a+1={a}^{2}+2a+1-2{a}^{2}-2a+b}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$（舍去）；
即a=1，b=2．

点评 考查对“可等域函数”定义的理解，知道函数y=x定义域和值域相同，从而得出解方程x=f（x）即可得出m，n的值．