Question

6．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，M、N分别是A₁B₁、A₁C₁的中点，BC=AC=CC₁，则CN与AM所成角的余弦值等于（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{30}}{10}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{70}}{10}$

Answer 1

分析 以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CN与AM所成角的余弦值．

解答 解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，

设BC=AC=CC₁=2，
则C（0，0，0），N（1，0，2），A（2，0，0），M（1，1，2），
$\overrightarrow{CN}$=（1，0，2），$\overrightarrow{AM}$=（-1，1，2），
设CN与AM所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{CN}•\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{CN}|•|\overrightarrow{AM}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴CN与AM所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故选：B．

点评 本题考查两直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．