Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）求PB和平面PAD所成的角的大小．
（2）求二面角A-PD-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥AB．又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD．进而∠APB为PB和平面PAD所成的角，由此能示出PB和平面PAD所成的角的大小．
（2）推导出PA⊥CD，从而CD⊥平面PAC，进而AE⊥平面PCD．过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，则∠AME是二面角A-PD-C的平面角．由此能求出二面角A-PD-C的正弦值．

解答 （本小题10分）
解：（1）在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD．
故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．
在Rt△PAB中，AB=PA，故∠APB=45°．
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．
（2）在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．
由条件AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，∴CD⊥AE．由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．
∵E是PC的中点，∴PC⊥AE．又∵CD⊥PC=C，∴AE⊥平面PCD．
过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．
∵AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，
∴AM⊥PD．∴∠AME是二面角A-PD-C的平面角．
由已知∵∠CAD=30°，∴设CD=1，$则PA=AC=\sqrt{3}$，$AD=2，PC=\sqrt{6}，PD=\sqrt{7}$．
Rt△PAC中，$AE=\frac{1}{2}PC=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM•PD=AP•AD，得$AM=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．
在Rt△AEM中，$sin∠AME=\frac{AE}{AM}=\frac{{\sqrt{14}}}{4}$．
所以二面角A-PD-C的正弦值为$\frac{{\sqrt{14}}}{4}$．

点评 本题考查线面角的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．