Question

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，，点M在线段EC上．
（I）当点M为EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；
（II）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M-BDE的体积．

Answer 1

【答案】分析：（I）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，验证，即，从而可证BM∥平面ADEF；
（II）利用平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为，确定点M为EC中点，从而可得S_△DEM=2，AD为三棱锥B-DEM的高，即可求得三棱锥M-BDE的体积．
解答：（I）证明：以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0）C（0，4，0），E（0，0，2），所以M（0，2，1）．
∴--------（2分）
又是平面ADEF的一个法向量．
∵，∴
∴BM∥平面ADEF------（4分）
（II）解：设M（x，y，z），则，
又，设，则x=0，y=4λ，z=2-2λ，即M（0，4λ，2-2λ）．（6分）
设是平面BDM的一个法向量，则
取x₁=1得 即  
又由题设，是平面ABF的一个法向量，------（8分）
∴--（10分）
即点M为EC中点，此时，S_△DEM=2，AD为三棱锥B-DEM的高，
∴V_M-BDE=----------（12分）
点评：本题考查线面平行，考查三棱锥的体积．考查利用向量知识解决立体几何问题，属于中档题．