Question

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．
（1）求证：BM∥平面ADEF；
（2）求几何体ABCDEFAD的体积和表面积．

Answer 1

分析：（1）取DE的中点G，连MG、AG，根据三角形中位线定理，我们易证明四边形ABMG为平行四边形，则BM∥AG，由线面平行的判定定理，即可得到BM∥平面ADEF；
（2）几何体ABCDEFAD的体积由四棱锥B-ADEF及三棱锥E-BDC组成，分别计算出四棱锥B-ADEF及三棱锥E-BDC的体积，即可求出几何体ABCDEFAD的体积，而几何体的表面积由S_ABCD+S_ADEF+S_△ABF+S_△DCE+S_△BFE+S_△BCE组成分别求出各面面积即可得到几何体的表面积．

解答：解：（1）取DE的中点G，连MG、AG
∵MG∥AB∥DC
且AB=MG∴四边形ABMG为平行四边形，
∴BM∥AG
∴BM∥平面ADEF
（2）体积VABCDEFA=VB-ADEF+VE-BDC=

1

3

×2×4+

1

3

×2×

1

2

×2×4=

16

3

表面积：S_表=S_ABCD+S_ADEF+S_△ABF+S_△DCE+S_△BFE+S_△BCE
=6+4+2+4+2

2

+2

6

=16+2

2

+2

6

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，组合几何体的面积、体积问题，其中（1）中的关键是证明面外一线与面内一线平行，（2）中的关键是求出几何体由四棱锥B-ADEF及三棱锥E-BDC组成，进而计算出棱锥的底面积和高．