Question

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．
（I）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC．

Answer 1

分析：（I）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理易得，四边形ABMN为平行四边形，即BM∥AN，再由线面平行的判定定理即可得到BM∥平面ADEF；
（II）由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，我们易得到ED⊥BC，解三角形BCD，可得BC⊥BD，由线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC．

解答：证明：（I）取DE中点N，连接MN，AN
在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点
∴MN∥CD，且MN=

1

2

CD，
由已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，
∴MN∥AB，且MN=AB
∴四边形ABMN为平行四边形
∴BM∥AN
又∵AN?平面ADEF
BM?平面ADEF
∴BM∥平面ADEF
（II）∵ADEF为正方形
∴ED⊥AD
又∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，且ED?平面ADEF
∴ED⊥平面ABCD
∴ED⊥BC
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2

2

在△BCD中，BD=BC=2

2

，CD=4
∴BC⊥BD
∴BC⊥平面BDE
又∵BC?平面BEC
∴平面BDE⊥平面BEC

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间中直线与平面平行和空间的判定、性质、定义是解答本题的关键．