Question

如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在平面ABCD垂直，已知BC=2AD=4，∠ABC=60°，BF⊥AC．
（Ⅰ）求证：AC⊥面ABF；
（Ⅱ）求异面直线BE与AF所成的角；
（Ⅲ） 求该几何体的表面积．

Answer 1

分析：（1）因为面ADEF⊥面ABCD，AF⊥交线AD，AF?面ADEF，所以AF⊥面ABCD由此能够证明AC⊥面ABF．
（2）由（1）得AF，AB，AC两两互相垂直，故可以以A点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A-xyz，则

AC

=(0，2

3

，0)，

BE

=(-3，

3

，2)，

AF

=(0，0，2)，由向量法能求出异面直线BE与AC所成的角的余弦值．
（3）由（1）知AF⊥面ABCD，所以AF⊥AB，又AB=BCcos60°=2，所以△ABF的面积S1=

1

2

|AF|•|AB|=2．同理△CDE的面积S₂=2，等腰梯形BCEF的上底长为2，下底长为4，两腰长均为2

2

，则它的高为

7

，等腰梯形ABCD的上底长为2，下底长为4，两腰长均为2，它的高为

3

，由此能求出该几何体的表面积．

解答：（1）证明：因为面ADEF⊥面ABCD，AF⊥交线AD，AF?面ADEF，
所以AF⊥面ABCD．（2分）
故  AF⊥AC，又  BF⊥AC，AF∩BF=F．
所以AC⊥面ABF．…（4分）
（2）解：由（1）得AF，AB，AC两两互相垂直，
故可以以A点为坐标原点，
建立如图空间直角坐标系A-xyz，
∵BC=2AD=4，∠ABC=60°，BF⊥AC．
∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2

3

，0)，E(-1，

3

，2)，F（0，0，2）．…（6分）

AC

=(0，2

3

，0)，

BE

=(-3，

3

，2)，

AF

=(0，0，2)，
cos＜

AF

，

BE

＞=

AF • BE

| AF |•| BE |

=

4

2×4

=

1

2

．
即异面直线BE与AF所成的角的余弦值为

1

2

．…（8分）
（3）解：由（1）知AF⊥面ABCD，所以AF⊥AB，又AB=BCcos60°=2，
所以△ABF的面积S1=

1

2

|AF|•|AB|=2．…（9分）
同理△CDE的面积S₂=2，等腰梯形BCEF的上底长为2，下底长为4，两腰长均为2

2

，则它的高为

7

，
所以其面积S3=

1

2

×(2+4)×

7

=3

7

．…（10分）
等腰梯形ABCD的上底长为2，下底长为4，两腰长均为2，
则它的高为

3

，
所以其面积S4=

1

2

×(2+4)×

3

=3

3

．…（11分）
故该几何体的表面积S=S1+S2+S3+S4+4=3

3

+3

7

+8．…（12分）

点评：本题考查AC⊥面ABF的证明，求异面直线BE与AF所成的角，求该几何体的表面积．解题时要认真审题，合理地化空间几何问题为平面几何问题，注意向量法的灵活运用．