Question

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=

1

2

CD=2，点M在线段EC上．
（I）当点M为EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；
（II）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为

6

6

时，求三棱锥M-BDE的体积．

Answer 1

分析：（I）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，验证

BM

•

OC

=0，即

BM

⊥

OC

，从而可证BM∥平面ADEF；
（II）利用平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为

6

6

，确定点M为EC中点，从而可得S_△DEM=2，AD为三棱锥B-DEM的高，即可求得三棱锥M-BDE的体积．

解答：（I）证明：以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0）C（0，4，0），E（0，0，2），所以M（0，2，1）．
∴

BM

=(-2，0，1)--------（2分）
又

OC

=(0，4，0)是平面ADEF的一个法向量．
∵

BM

•

OC

=0，∴

BM

⊥

OC

∴BM∥平面ADEF------（4分）
（II）解：设M（x，y，z），则

EM

=(x，y，z-2)，
又

EC

=(0，4，-2)，设

EM

=λ

EC

(0＜λ＜1，则x=0，y=4λ，z=2-2λ，即M（0，4λ，2-2λ）．（6分）
设

n

=(x1，y1，z1)是平面BDM的一个法向量，则

OB

•

n

=2x1+2y1=0

OM

•

n

=4λy1+(2-2λ)z1=0
取x₁=1得 y1=-1，z1=

2λ

1-λ

即  

n

=(1，-1，

2λ

1-λ

)
又由题设，

OA

=(2，0，0)是平面ABF的一个法向量，------（8分）
∴|cos＜

OA

，

n

＞|=

OA • n

| OA |•| n |

=

2

2 2+ 4λ2 (1-λ)2

=

6

6

⇒λ=

1

2

--（10分）
即点M为EC中点，此时，S_△DEM=2，AD为三棱锥B-DEM的高，
∴V_M-BDE=VB-DEM=

1

3

•2•2=

4

3

----------（12分）

点评：本题考查线面平行，考查三棱锥的体积．考查利用向量知识解决立体几何问题，属于中档题．