题目内容
已知平面上的非零向量
，
，
满足
+
+
=
，|
|=|
|=1，且cos＜
，
＞=-
，则△P1P2P3的形状为（ ）
| OP1 |
| OP2 |
| OP3 |
| OP1 |
| OP2 |
| OP3 |
| 0 |
| OP1 |
| OP2 |
| OP1 |
| OP2 |
| 4 |
| 5 |
| A、等腰三角形 |
| B、直角三角形 |
| C、等腰直角三角形 |
| D、等边三角形 |
考点：平面向量数量积的运算
专题：解三角形,平面向量及应用
分析：由
+
+
=
，再由向量加法的平行四边形法则，得O为△P1P2P3的重心，又|
|=|
|=1，得到OA⊥P1P2，且P1P3=P2P3，运用余弦定理求出P1P2，再由勾股定理，求出P1P3，再由勾股定理的逆定理得到P1P3⊥P2P3，从而得到三角形P1P2P3的形状．
| OP1 |
| OP2 |
| OP3 |
| 0 |
| OP1 |
| OP2 |
解答：
解：∵
+
+
=
，
∴由向量加法的平行四边形法则，得O为△P1P2P3的重心，
即三条中线的交点，
∴A为中点，P3A=3OA．
又∵|
|=|
|=1，
∴OA⊥P1P2，
∴P1P3=P2P3，
∵cos＜
，
＞=-
，
∴由余弦定理，得，P1P22=1+1-2×（-
）=
，
又P1A2=1-OA2=
×
，∴OA2=
，
P1P32=P1A2+P3A2=
+9×
=
，
∵P1P32+P2P32=P1P22，∴P1P3⊥P2P3，
故三角形P1P2P3是等腰直角三角形．
故选C．
解：∵| OP1 |
| OP2 |
| OP3 |
| 0 |
∴由向量加法的平行四边形法则，得O为△P1P2P3的重心，
即三条中线的交点，
∴A为中点，P3A=3OA．
又∵|
| OP1 |
| OP2 |
∴OA⊥P1P2，
∴P1P3=P2P3，
∵cos＜
| OP1 |
| OP2 |
| 4 |
| 5 |
∴由余弦定理，得，P1P22=1+1-2×（-
| 4 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
又P1A2=1-OA2=
| 1 |
| 4 |
| 18 |
| 5 |
| 1 |
| 10 |
P1P32=P1A2+P3A2=
| 9 |
| 10 |
| 1 |
| 10 |
| 9 |
| 5 |
∵P1P32+P2P32=P1P22，∴P1P3⊥P2P3，
故三角形P1P2P3是等腰直角三角形．
故选C．
点评：本题考查解三角形的余弦定理和应用，考查平面向量的加法遵循的平行四边形法则，及三角形的重心和性质，属于中档题．
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A、 |
B、 |
C、 |
D、 |
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| a |
| AC |
| b |
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| a |
| b |
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| ||||
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| ||||
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| ||||
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|
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| ||||
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| ||||
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