Question

已知复数z₁=m+（4-m²）i（m∈R），z₂=2cosθ+（λ+3sinθ）i（λ，θ∈R），并且z₁=z₂，则λ的取值范围

 

．

Answer 1

考点：复数相等的充要条件

专题：数系的扩充和复数

分析：利用复数相等的概念，整理可得λ=4-4cos²θ-3sinθ=4(sinθ-

3

8

)2-

9

16

，利用正弦函数的单调性与最值即可求得答案．

解答： 解：依题意，m=2cosθ，且4-m²=λ+3sinθ，
即λ=4-4cos²θ-3sinθ=4sin²θ-3sinθ=4(sinθ-

3

8

)2-

9

16

，
∵-1≤sinθ≤1，
∴当sinθ=

3

8

时，λ_min=-

9

16

；
当sinθ=-1时，λ_max=7；
∴λ的取值范围是[-

9

16

，7]．
故答案为：[-

9

16

，7]．

点评：本题考查复数相等的充要条件，着重考查配方法的应用及正弦函数的单调性与最值，属于中档题．