Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AB=

2

．
（1）求二面角A-PC-B的余弦值；
（2）设E为棱PC上的点，满足直线DE与平面PBC所成角的正弦值为

2 2

3

，求AE的长．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,二面角的平面角及求法

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（1）首先建立空间直角坐标系，求出相应向量利用平面的法向量，求出向量的夹角的余弦值．
（2）同样利用法向量知识，利用夹角的正弦值作为建立等量的条件，求出点E的坐标，最后求出向量的模长．

解答：
解：（1）分别以AD，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系
平面PAC的法向量

m

=(1，0，0)
由已知得：P（0，0，2），C（0，2，0），B（-1，1，0）
∴

PC

=(0，2，-2)，

BC

=(1，1，0)
设平面PBC的法向量为

n

=(x，y，z)
则

n • PC =0 n • BC =0

，即

y-z=0 x+y=0

取

n

=(1，-1，-1)
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

3

∴二面角A-PC-B的余弦值为

3

3

（2）设E（0，1+t，1-t），则

DE

=(-2，1+t，1-t)
由（Ⅰ）知平面PBC的法向量

n

=(1，-1，-1)，
由于直线DE与平面PBC所成角的正弦值为

2 2

3

所以|cos＜

DE

，

n

＞|=

| DE • n |

| DE |•| n |

=

4

6+2t2 • 3

=

2 2

3

得t=0，

AE

=(0，1，1)，
|

AE

|=

02+12+12

=

2

，
即：AE的长等于

2

故答案为：（1）二面角A-PC-B的余弦值为

3

3

（2）AE的长等于

2

点评：本题考查的知识点：空间直角坐标系，平面的法向量，线面所成的角，夹角的余弦，向量的模长．