Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ⁺¹，数列{b_n}满足b_n=

1

(n+1)log2an

+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁=4，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1-2n =2ⁿ，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）当n=1时，b1=

1

2log24

+1=

5

4

，T1=

5

4

；当n≥2时，bn=

1

(n+1)log22n

+n=

1

n

-

1

n+1

+n，由此利用分组求和法和裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=4，…（2分）
由S_n=2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2ⁿ，n≥2，
∴a_n=S_n-S_n-1=2n+1-2n =2ⁿ，n≥2．
∴an=

4，n=1 2n，n≥2

．…（6分）
（2）当n=1时，b1=

1

2log24

+1=

5

4

，∴T1=

5

4

，…（7分）
当n≥2时，
bn=

1

(n+1)log22n

+n
=

1

n(n+1)

+n=

1

n

-

1

n+1

+n，…（9分）
Tn=

5

4

+(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)+（2+3+4+…+n）
=

1

4

+（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)+（1+2+3+4+…+n）
=

3

4

-

1

n+1

+

n(n+1)

2

，…（11分）
上式对于n=1也成立，
∴T_n=

3

4

-

1

n+1

+

n(n+1)

2

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查为数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法和裂项求和法的合理运用．