Question

设函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|（x∈R），四位同学研究得出如下四个命题，其中真命题的有

 

①f（x）是偶函数；
②f（x）在（0，+∞）单调递增；
③不等式f（x）＜2014×2015的解集为∅；
④关于实数a的方程f（2a-3）=f（a-1）可能有无数解．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①利用偶函数的定义可判断；对于②正确；对于③研究函数的最小值为2×

2014×2015

2

=2010×2011，故可判断；对于④当a∈[1，2]时，2a-3∈[-1，1]，a-1∈[-1，1]，此时方程f（2a-3）=f（a-1）恒成立，故可得结论

解答： 解：∵f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|
∴f（-x）=|-x+1|+|-x+2|+…+|-x+2014|+|-x-1|+|-x-2|+…+|-x-2014|=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|=f（x）
∴①f（x）是偶函数，正确；
对于②，当x在[-1，1]的时候，|x+1|+|x-1|就是x到-1的距离加上x到1的距离，由于x在-1和1之间，所以距离之和正好是2，
同样的，|x+2|+|x-2|正好是4，|x+2011|+|x-2011|正好是4022，即函数在[-1，1]上是常数函数，故②错误；
对于③，∵当x=0时，函数的最小值为2×

2014×2015

2

=2014×2015，故正确；
对于④由②可知，当a∈[1，2]时，2a-3∈[-1，1]，a-1∈[-1，1]，此时方程f（2a-3）=f（a-1）恒成立，故④正确，
故答案为：①③④

点评：本题主要考查命题真假的判断，解题的关键是正确理解函数，研究其性质．