Question

14．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1）f（x）=6x²+x+2，x∈[-1，1]：
（2）f（x）=x³-12x，x∈[-3，3]：
（3）f（x）=6-12x+x²，x∈[-$\frac{1}{3}$，1]：
（4）f（x）=48x-x³，x∈[-3，5]．

Answer 1

分析 （1）求出函数的对称轴，求得端点处的函数值，即可得到最值；
（2）求出导数，求出极值和端点处的函数值，即可得到最值；
（3）求出对称轴，判断区间的单调性，即可得到最值；
（4）求出导数，求出极值和端点的函数值，即可得到最值．

解答 解：（1）f（x）=6x²+x+2的对称轴为x=-$\frac{1}{12}$∈[-1，1]，
即有最小值为f（-$\frac{1}{12}$）=$\frac{47}{24}$，最大值为f（1）=9；
（2）f（x）=x³-12x的导数为f′（x）=3x²-12，
由f′（x）=0解得x=±2，
由f（-2）=16，f（2）=-16，f（-3）=9，f（3）=-9，
即有最大值为16，最小值为-16；
（3）f（x）=6-12x+x²的对称轴为x=6，
区间[-$\frac{1}{3}$，1]为减区间，即有f（1）取得最小值，且为-5；
f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{91}{9}$；
（4）f（x）=48x-x³的导数为f′（x）=48-3x²，
由f′（x）=0解得x=±4（-4舍去），
由f（4）=128，f（-3）=-117，f（5）=115．
即有最小值为-117，最大值为128．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用导数和单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．