题目内容

（理）已知O是平面上的一定点，在△ABC中，动点P满足条件 $数学公式$ = $数学公式$ +λ（ $数学公式$ + $数学公式$ ），（其中λ∈[0，+∞））
，则P的轨迹一定△ABC通过的

A.
内心
B.
重心
C.
垂心
D.
外心

B
分析：由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +λ（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ =λ（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），所以 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 共线，根据正弦定理知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 共线，由 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 经过线段BC的中点，知点P过三角形重心．
解答：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +λ（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ =λ（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ =λ（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 共线，
根据正弦定理： $\text{[math]}$ ，
所以| $\text{[math]}$ |sinB=| $\text{[math]}$ |sinC，
所以 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 共线，
∵ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 经过线段BC的中点D，
所以P点的轨迹也过中点D，
∴点P过三角形重心．
故选B．
点评：本题考查三角形五心的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意正弦定理的性质和应用．