Question

12．已知函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，且$\overrightarrow a$=（cos2x+1，1），$\overrightarrow b$=（1，$\sqrt{3}$sin2x-1）．
（1）求函数f（x）的最小正周期、最大值和最小值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1））先根据  f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$求得函数f（x）的解析式，利用两角和公式化简整理后，利用三角函数的性质求函数f（x）的最小正周期、最大值和最小值．
（2）根据整理出来的函数的表达式，利用正弦函数的单调性可求得函数的单调递区间．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，且$\overrightarrow a$=（cos2x+1，1），$\overrightarrow b$=（1，$\sqrt{3}$sin2x-1）．
∴f（x）=cos2x+1+$\sqrt{3}$sin2x-1=2（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
即$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
∴T=π；f（x）_max=2，f（x）_min=-2
（2）由（1）知，$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
则2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
所以kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
故函数f（x）的单调递减区间为：$[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]$，k∈Z．

点评 本题考查三角函数的性质，是一个以向量为载体的题目，这种题目经常出现在高考卷中，是一个典型的三角函数解答题目．