Question

设不共线的向量

α

，

β

，|

α

|=2，|

β

|=1，则向量

β

与

α

-

β

的夹角的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，由于

α

、

β

不共线，可知|

α

|、|

β

|、|

α

-

β

|可组成三角形．

OA

=

α

，

OB

=

β

，

BA

=

α

-

β

，设

α

-

β

|=m，可得1＜m＜3．再利用余弦定理和基本不等式即可得出．

解答： 解：如图所示：设

OA

=

α

，

OB

=

β

，则

BA

=

α

-

β

，
设向量

β

与

α

-

β

的夹角为θ，
∵由于

α

、

β

不共线，
可知|

α

|、|

β

|、|

α

-

β

|可组成三角形．
设|

α

-

β

|=m，可得1＜m＜3．
△OAB中，由余弦定理可得
cos（π-θ）=

| α - β |2+| β |2-| α |2

2| α - β |•| β |

=

m2+1-22

2×m×1

=

m2-3

2m

=

m

2

-

3

2m

∈（-1，1），
∴π-θ∈（0，π），∴θ∈（0，π），
故答案为：（0，π）．

点评：本题考查了向量的三角形法则、余弦定理、基本不等式及其组成三角形的条件等基础知识与基本技能方法，考查了数形结合思想方法，属于中档题．