Question

已知函数f（x）=

x2+a

x

，当x∈N^*时，f（x）≥f（3）恒成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：利用不等式恒成立，进行参数分离，求参数的最值即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=

x2+a

x

=x+

a

x

，
∴要使当x∈N^*时，f（x）≥f（3）恒成立，
则x+

a

x

≥3+

a

3

，
即x-3≥

x-3

3x

•a，
∵x∈N^*，
∴当x=1，不等式x-3≥

x-3

3x

•a等价为-2≥-

2

3

a，此时a≥3，
当x=2，不等式x-3≥

x-3

3x

•a等价为-1≥-

1

6

a，此时a≥6，
当x=3，不等式x-3≥

x-3

3x

•a等价为0≥0，恒成立，
当x≥4时，不等式x-3≥

x-3

3x

•a等价为1≥

a

3x

，即a≤3x恒成立，
即此时a≤12，综上

a≥3 a≥6 a≤12

，解得6≤a≤12，
故实数a的取值范围为[6，12]．
故答案为：[6，12]

点评：本题主要考查函数恒成立问题，利用参数分离法是解决此类问题的基本方法，注意要对x进行分类讨论．