Question

10．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）当点E为BC的中点时，证明EF∥平面PAC；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析 （1）连结EF，推导出EF∥PC，由此能证明EF∥平面PAC．
（2）推导出BC⊥PA，BC⊥AB，从而BC⊥平面PAB，进而BC⊥AF，再求出AF⊥PB，从而AF⊥平面PBC，由此能证明无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

解答 证明：（1）连结EF，
∵点F是PB的中点，点E为BC的中点，
∴EF∥PC，
∵EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
证明：（2）∵PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，
∴BC⊥PA，BC⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵AF?平面PAB，∴BC⊥AF，
∵PA=AB，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，
∵PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，
∵点E在边BC上移动，∴PE?平面PBC，
∴无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．