在Rt△ABC中.∠BAC=90°.AB=2.AC=6.D为AC边上的中点.E为BC边上一点.且$\overrightarrow{BE}$=$λ\overrightarrow{BC}$．(1)当$λ=\frac{1}{2}$时.若$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{BD}$+y$\overrightarrow{AC}$.求x.y的值,(2)当AE� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且$\overrightarrow{BE}$=$λ\overrightarrow{BC}$（0＜λ＜1）．
（1）当$λ=\frac{1}{2}$时，若$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{BD}$+y$\overrightarrow{AC}$，求x，y的值；
（2）当AE⊥BD时，求λ的值．

分析（1）建立平面直角坐标系，表示出向量$\overrightarrow{BD}$、$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{AE}$，利用平面向量的坐标表示和向量相等列出方程组，即可求出x和y的值；
（2）设出点E（x，y），利用AE⊥BD时$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=0，和$\overrightarrow{BE}$与$\overrightarrow{BC}$共线，列出方程组，解方程组求出点E的坐标，即可求出λ的值．

解答解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示；
则A（0，0），B（0，2），C（6，0），D（3，0），
当$λ=\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，E是BC的中点，
所以E（3，1），$\overrightarrow{BD}$=（3，-2），$\overrightarrow{AC}$=（6，0），$\overrightarrow{AE}$=（3，1）；
又$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{BD}$+y$\overrightarrow{AC}$，
所以（3，1）=x（3，-2）+y（6，0）=（3x+6y，-2x），
即$\left\{\begin{array}{l}{3x+6y=3}\\{-2x=1}\end{array}\right.$，
解得x=-$\frac{1}{2}$，y=$\frac{3}{4}$；
（2）设点E（x，y），则$\overrightarrow{AE}$=（x，y）；
当AE⊥BD时，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=0，
即3x-2y=0①；
又$\overrightarrow{BE}$=（x，y-2），
$\overrightarrow{BC}$=（6，-2），且$\overrightarrow{BE}$与$\overrightarrow{BC}$共线，
所以-2x-6（y-2）=0②；
由①②组成方程组，解得x=$\frac{12}{11}$，y=$\frac{18}{11}$；
所以$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{12}{11}$，-$\frac{4}{11}$），
所以$\overrightarrow{BE}$=$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{BC}$，
即λ的值为$\frac{2}{11}$．