Question

19．设关于x的函数f（x）=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值为g（a）．
（1）试用a写出g（a）的表达式；
（2）试求g（a）=$\frac{1}{2}$时a的值，并求此时f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式对函数解析式化简，配方后，讨论$\frac{a}{2}$的范围确定g（a）的解析式，最后综合即可．
（2）利用每个范围段的解析式求得a的值，最后验证a即可．

解答 （本小题12分）
解：（1）f（x）=2cos²x-2acosx-（2a+1）=2（cosx-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}+4a+2}{2}$，且|cosx|≤1，
当$\frac{a}{2}$≤-1，即a≤-2时，g（a）=f（-1）=1，
当-1＜$\frac{a}{2}$＜1，即-2＜a＜2时，g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1，
当$\frac{a}{2}$≥1，即a≥2时，g（a）=f（1）=1-4a，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{1}{-\frac{{a}^{2}}{2}-2a-1}}&{\stackrel{a≤-2}{-2＜a＜2}}\\{1-4a}&{a≥2}\end{array}\right.$，
（2）由（1）知，g（a）=$\frac{1}{2}$ 时，若a≥2，
则1-4a=$\frac{1}{2}$，可得a=$\frac{1}{8}$与前提矛盾，舍去，
故-$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1=$\frac{1}{2}$，可得a=-1，
此时，f（x）=2（cosx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
∴当cosx=1时，f（x）取得最大值5．

点评 本题主要考查了二次函数的性质，函数思想的运用，分段函数等知识，考查了学生综合素质，属于中档题．